게임이론(Game theory)

게임이론(game theory)은 상호 의존적이고 이성적인 의사결정에 관한 수학적 이론으로, 개인이나 기업이 행위를 할 때 그 결과가 자신뿐만 아니라 다른 참가자들의 행동에 의해 결정되는 상황에서, 최대 이익을 추구하는 행동을 연구합니다.

여기서 게임(game)이란, 효용 극대화를 추구하는 행위자들이 일정한 전략을 가지고 최고의 보상을 얻기 위해 벌이는 행위를 의미합니다. 게임 이론은 사회 과학, 특히 경제학에서 중요한 응용 수학의 한 분야이며, 생물학, 정치학, 컴퓨터 과학, 철학 등 다양한 분야에서도 활용됩니다.

게임이론은 참가자들이 상호작용하며 변화하는 상황을 이해하는 데 도움을 주고, 이 상호작용이 어떻게 전개될지와 각 순간에 어떤 행동이 더 유리한지를 수학적으로 분석합니다.


o. 역사

게임 이론의 전략적 측면, 특히 갈등과 대립에 대한 연구는 1921년 에밀 보렐에 의해 시작되었으나, 이론적 기초는 존 폰 노이만(John von Neumann)에 의해 다져졌습니다. 노이만은 1928년 논문을 통해 게임 이론을 체계화하려 했지만, 당시 그의 이론은 수학적으로 난해하고 실제 응용이 어려웠습니다. 그러나 오스카 모르겐슈테른(Oskar Morgenstern)이 게임 이론의 중요성을 인식하고 노이만과 공동 연구를 진행하게 되었습니다. 그 결과, 1944년에 두 사람이 함께 쓴 저서 **《게임 이론과 경제 행동》(Theory of Games and Economic Behavior)**이 발표되었습니다.

이 연구에서 노이만은 이론적 부분을 주로 담당했고, 경제 분석은 모르겐슈테른이 맡았습니다. 그들의 연구는 경제적 상황에서 여러 주체 간의 갈등과 이해관계, 불완전한 정보, 그리고 합리적인 결정을 다루며, 이를 이론적으로 확립할 수 있는 게임 모델로 발전시켰습니다. 이 연구에서 노이만은 **미니맥스 원리(미니맥스 법)**를 증명하였고, 이를 통해 게임 이론은 응용 수학의 한 영역으로 자리 잡게 되었습니다.

이 게임 이론이 처음으로 실제 적용된 사례는 제2차 세계 대전이었습니다. 노이만의 제자였던 존 튜키(John Tukey)는 게임 이론에 확률론을 도입하여, 최소의 손실로 전략 폭격을 수행할 수 있는 계획을 미군에 조언하기도 했습니다.



게임 이론은 1950년대에 들어서 많은 학자에 의해 광범위하게 연구되었으며, 1970년대에는 자연선택에 의한 종의 진화와 같은 동물의 행동 연구에도 적용되었습니다. 오늘날, 게임 이론은 다양한 학문 분야에서 중요한 연구 도구로 널리 인정받고 있습니다. 이를 반영하듯, 8명의 게임 이론 학자들이 노벨 경제학상을 수상했고, 존 메이나드 스미스(John Maynard Smith)는 게임 이론을 생물학에 적용하여 크라푸르드 상(Crafoord Prize)을 수상했습니다.

게임 이론은 개인의 전략적 상황, 즉 자신의 성공이 다른 사람의 선택에 의존하는 상황에서 행동을 수학적으로 설명하려는 이론입니다. 초기에는 제로섬 게임(zero-sum game), 즉 한 개인이 다른 사람의 이익을 빼앗는 상황에서 경쟁을 분석하기 위해 개발되었으나, 현재는 다양한 조건에서 광범위한 상호작용을 다룰 수 있도록 확장되었습니다. 오늘날 게임 이론은 사회과학에서 이성적인 행동을 분석하는 통합된 이론으로 자리 잡았으며, 인간뿐만 아니라 컴퓨터, 동식물의 상호작용까지 포괄하는 범위로 확장되었습니다.

전통적으로 게임 이론의 주요 응용은 게임에서의 균형점을 찾는 것이며, 이는 각 개체가 자기 행동을 바꾸지 않는 전략들의 집합을 의미합니다. 이러한 개념을 바탕으로 많은 균형 개념이 개발되었으며, 그중 가장 유명한 것이 내시 균형(Nash equilibrium)입니다. 이러한 균형 개념들은 서로 중복되거나 유사할 수 있지만, 각기 다른 응용 분야에서 발전해 왔습니다. 그러나 이러한 방법론에 대한 비판도 존재하며, 특정 균형 개념의 적절성이나 전체 균형 개념들의 타당성, 더 나아가 수학적 모델의 유용성에 대한 논의는 여전히 계속되고 있습니다.



o. 게임의 유형

게임 이론에서 다루는 게임들은 명확하게 정의된 수학적 구조로 이루어져 있습니다. 하나의 게임은 참가자(또는 행위자), 이들이 선택할 수 있는 행동(전략), 그리고 이러한 전략들의 조합에 따라 각 참가자가 얻게 되는 보상(페이오프)으로 구성됩니다. 협조적인 게임들은 주로 특성 함수형(characteristic function form)으로 표현되는 반면, 비협조적인 게임들은 전개형(extensive form)과 일반형(normal form)으로 정의됩니다.



  - 전개형

전개형 게임은 순서가 있는 게임을 표현하는 데 사용되며, 종종 나무 모양의 다이어그램으로 시각화됩니다. 이 다이어그램에서 각 점(노드)은 참여자가 선택해야 하는 지점을 나타내며, 참여자는 점에 표시된 숫자로 구분됩니다. 점에서 나오는 선들은 해당 참여자가 선택할 수 있는 행동을 나타내고, 최종 보상은 나무의 맨 아래쪽에 표시됩니다.

예를 들어, 이 게임에서 두 명의 참여자가 있습니다. 첫 번째 참여자(참여자 1)는 F와 U 중 하나를 먼저 선택하고, 두 번째 참여자(참여자 2)는 참여자 1의 선택을 확인한 후 A와 R 중 하나를 선택합니다. 만약 참여자 1이 U를 선택하고, 참여자 2가 A를 선택하면, 참여자 1은 8점을, 참여자 2는 2점을 얻게 됩니다.

전개형 게임은 불완전 정보 게임이나 동시에 움직이는 게임에도 적용될 수 있습니다. 이를 나타내기 위해 점선을 사용하여 서로 다른 노드를 연결하거나 폐곡선을 그려, 참여자들이 어느 노드에 있는지 알지 못하는 상황을 표현할 수 있습니다.



 - 일반형(전략)

전략형 게임(또는 일반형 게임)은 참가자, 전략, 보상을 매트릭스로 표현하는 방식으로 주로 사용됩니다. 이 매트릭스에서는 각 참가자가 선택할 수 있는 행동의 조합에 따라 그들의 보상이 결정됩니다.

예를 들어, 두 명의 참가자가 있다고 가정해 봅시다. 첫 번째 참가자(참가자 1)는 행에서, 두 번째 참가자(참가자 2)는 열에서 각자의 선택을 합니다. 각 참가자는 두 개의 전략을 가지고 있으며, 그들의 선택에 따라 보상이 주어집니다. 매트릭스 안의 상자에 기록된 첫 번째 숫자는 참가자 1의 보상을, 두 번째 숫자는 참가자 2의 보상을 나타냅니다. 만약 참가자 1이 위쪽을 선택하고, 참가자 2가 왼쪽을 선택하면, 참가자 1은 4점을, 참가자 2는 3점을 얻게 됩니다.

일반형 게임은 주로 모든 참가자가 동시에 행동하거나, 다른 참가자의 행동을 모르는 상태에서 진행되는 게임을 나타냅니다. 만약 한 참가자가 다른 참가자의 선택에 대해 일부라도 알게 된다면, 이 게임은 전개형 게임으로 표현됩니다.



 - 특성함수형

이전 가능한 효용이 있는 협조적 게임에서는 개별 참가자에게 직접적인 보상이 주어지지 않습니다. 대신, 각 연합의 보상은 특성 함수에 의해 결정됩니다. 여기서 기본적인 가정은 빈 연합은 0의 보상을 얻는다는 것입니다.

이 형태의 게임 이론은 폰 노이만과 모르겐스턴이 연구한 협력적 일반형 게임에서 유래되었습니다. 그들은 특정 연합 \( C \)가 형성될 때, 이 연합이 마치 두 명의 참가자가 있는 게임처럼 보완적인 연합 \( N \setminus C \)에 대항해 행동한다고 가정했습니다. 이때 연합 \( C \)의 균형 보수는 특성적인 성질을 가지게 됩니다. 현재는 모든 특성 함수형 게임을 일반형 게임에서 파생시킬 수 있습니다.

이를 수식으로 표현하면, 특성 함수형 게임은 \( (N, v) \)로 정의되며, 여기서 \( N \)은 게임 참가자들의 집합이고, \( v : 2^N \longrightarrow \mathbb{R} \)은 특성 함수입니다. 특성 함수형은 이전 가능한 효용에 대한 추정 없이도 게임을 일반화할 수 있는 도구를 제공합니다.



 - 분할함수형

특성 함수형에서는 연합 형성 시 외부의 영향을 고려하지 않습니다. 반면, 분할 함수형에서는 연합의 보상이 단순히 연합 내 구성원에 의해 결정되는 것뿐만 아니라, 나머지 참가자들이 어떻게 나뉘는지에 따라서도 영향을 받습니다.